FOUR LAMBDA STORIES , AN INTRODUCTION TO COMPLETELY INTEGRABLE SYSTEMS by Frédéric

— Among all non-linear differential equations arising in Physics or in geometry, completely integrable systems are exceptional cases, at the concurrence of miraculous symmetry properties. This text proposes an introduction to this subject, through a list of examples (the sinh-Gordon, Toda, Korteweg-de Vries equations, the harmonic maps, the anti-self-dual connections on the four-dimensional space). The leading thread is the parameter lambda, which governs the algebraic structure of each of these systems. Résumé (Quatre histoires de lambda, une introduction aux systèmes complètement intégrables) Parmi toutes les équations différentielles non linéaires venant de la physique ou de la géométrie, les systèmes complètement intégrables sont des cas exceptionnels, où se conjuguent des propriétés de symétries miraculeuses. Ce texte propose une introduction à ce sujet, à travers une liste d’exemples (les équations de sh-Gordon, de Toda, de Korteweg-de Vries, les applications harmoniques, les connexions anti-autoduales sur l’espace de dimension quatre). Le fil conducteur est le paramètre lambda, qui gouverne la structure algébrique de chacun de ces systèmes.